Differentials - ይህ ምንድን ነው? እንዴት ተግባር ልዩነት ለማግኘት?

ተዋጽኦዎች ጋር አብሮ ያላቸውን ተግባራት differentials - ይህም መሠረታዊ ጽንሰ አንዳንድ ያለውን ልዩነት ካልኩለስ, ስለ ዋና ክፍል የሒሳብ ትንተና. ከምናሳየው እንደ ሁለቱም በርካታ መቶ ዘመናት በስፋት ሳይንሳዊ እና የቴክኒክ እንቅስቃሴ አካሄድ ውስጥ የተነሱትን በሙሉ ማለት ይቻላል ችግሮች መፍታት ላይ የዋለው.

ልዩነት ጽንሰ-ሐሳብ ያለው ብቅ

ለመጀመሪያ ጊዜ በግልጽ እንዲህ ያለ ልዩነት; (Isaakom Nyutonom ጋር በመሆን) መስራቾች መካከል አንዱ ልዩነት ካልኩለስ ታዋቂ የጀርመን የሒሳብ Gotfrid Vilgelm Leybnits አድርጓል. ይህ 17 ኛው መቶ ዘመን የሒሳብ በፊት. ተግባር በቀላሉ ሊሆን አይችልም ይመለከተዋል ይህም ከታች በጣም አነስተኛ በቋሚ ዋጋ ግን ዜሮ እኩል አይደለም, የሚወክል, በማንኛውም የታወቀ ተግባር አንዳንድ ኢምንት "ያልተከፋፈለ" በጣም ግልጽ እና ግልጽ ያልሆነ ሐሳብ ተጠቅሟል. በመሆኑም ይህ ተግባር የመከራከሪያ እና የኋለኛውን መካከል ተዋጽኦዎች አንፃር ሊገለጽ የሚችል ተግባራት በየራሳቸው የጨመሩ ኢምንት የጨመሩ ያዘነውን መካከል መግቢያ ላይ አንድ ደረጃ ብቻ ነበር. ይህን ደረጃ ማለት ይቻላል በተመሳሳይ ከላይ ሁለት ታላላቅ ሳይንቲስቶች ይወሰዳል ነበር.

ሳይንስ እርዳታም አስቸኳይ ተግባራዊ እንዲቆረጡ ችግሮችን ለመፍታት አስፈላጊነት ላይ የተመሰረተ በፍጥነት ኢንዱስትሪ እና ቴክኖሎጂ በማዳበር, ኒውተን እና ሌብኒትዝ ሲሆኑ, እንዲህ ያሉ ጽንሰ መካከል መግቢያ ለማድረግ አስችሏል, (በተለይም የታወቀ ሳንነካና ሥጋ ሜካኒካዊ ፍጥነት ጋር በተያያዘ) ለውጥ ፍጥነት ያለውን ተግባሮች የማግኘት የጋራ መንገዶች ፈጥሯል ፈንክሽን ተግባር እና ዲፈረንሺያል እንደ እንዲሁም ደግሞ ይታወቃል በሰዓት SE (ተለዋዋጭ) እንደ ስልተ ግልብጥ ችግር መፍትሔ ዓይነተኛ ጽንሰ-ሐሳብ የሚመሩ መሆኑን መንገድ ለማግኘት በተንጣለለው ፍጥነት አገኘ አዙን.

Δh በተሳካ ሁኔታ የኋለኛው ዋጋ ማስላት ሊተገበር የሚችል Δu ተግባራት ጭማሪዎች መሠረታዊ እሴቶች መካከል ጭማሪ ጋር ተመጣጣኝ ነው - ሌብኒዝ እና ኒውተን ሃሳብ ሥራ ላይ በመጀመሪያ ይህ differentials እንደሆነ ተገለጠ. Δh → እንደ ዜሮ የሚንከባከቡ, ቀሪ - በሌላ አነጋገር, እነርሱ በውስጡ የመነጩ Δu = y '(x) Δh + αΔh የት α Δh በሁለቱም በኩል ተገልጿል አንድ ጭማሪ ተግባር (ትርጉም ያለው ጎራ ውስጥ) በማንኛውም ነጥብ ላይ ሊሆን እንደሚችል ደርሰውበታል 0, ትክክለኛ Δh ይልቅ ይበልጥ ፈጣን.

የሒሳብ ትንታኔ መሥራቾች መሠረት, የ differentials - ይህ በትክክል ማናቸውም ተግባራት እየጨመሩ የመጀመሪያው ቃል ነው. እንኳን በግልጽ የተቀመጠ ገደብ ጽንሰ ተከታታይ ፈንክሽን ያለውን ልዩነት ዋጋ እንዲሰራ ቢፈጽሙ በተፈጥሮአቸው መረዳት ናቸው ሳይኖረው ጊዜ Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

በዋነኝነት አንድ የፊዚክስ እና አካላዊ ችግሮች ጥናት ያህል ረዳት መሣሪያ ሆኖ ይቆጠራል ሒሳባዊ ዕቃ ይጠቀማሉ የነበረው ማን ኒውተን, በተለየ መልኩ, ሌብኒትዝ የምስል እና አንብቦ ምልክቶች የሂሳብ እሴቶች አንድ ሥርዓት ጨምሮ, ይህ የመርጃ የበለጠ ትኩረት ከፍሏል. ይህም differentials ተግባር, dy መደበኛ ምልክትን ሐሳብ = y '(x) dx, dx, እና ያላቸውን ግንኙነት y እንደ መከራከሪያ ተግባር የሚመነጩ' (x) =, dy / dx እርሱ ነበር.

ወደ ዘመናዊ ትርጉም

ዘመናዊ የሒሳብ አንፃር ያለውን ልዩነት ምንድን ነው? በቅርበት ተለዋዋጭ ጭማሪ ጽንሰ-ሐሳብ ጋር የተያያዘ ነው. ወደ ተለዋዋጭ የ y = ₁ y y የሆነ የመጀመሪያ እሴት ይወስዳል _ከሆነ, y y _2, ልዩነት y ₂ ─ y ₁ ጭማሪ ዋጋ y ይባላል =. የ ጭማሪ አዎንታዊ ሊሆን ይችላል. አሉታዊ እና ዜሮ. የሚለው ቃል "ጨምር" ( 'የዴልታ y' ያንብቡ) መቅረጽ Δ, Δu የተሾመው ጭማሪ የ y ዋጋ ያመለክታል ነው. ስለዚህ Δu = y ₂ ─ y _1.

ዋጋ Δu የዘፈቀደ ተግባር የ y = f (x) አንድ Δh ላይ ምንም ጥገኛ, የቲ የት Δu = አንድ Δh + α, የሚወከለው ሊሆን ይችላል. ለተሰጠው x ለ ሠ A = const, እና የሚለው α Δh → 0 የመምሰል ጊዜ ይህ ይወከላል, እንዲያውም በበለጠ ፍጥነት ትክክለኛ Δh, ከዚያም የመጀመሪያ ( «ዋና») አንድ ቃል ተመጣጣኝ Δh በላይ ነው, እና y = f (x) ልዩነት ነው , dy ወይም ሊታሰቡባቸው (x) ( "ዳ ደ", "ዴ eff ኤክስ ከ" አንብብ). ስለዚህ differentials - የ "ዋና" መስመራዊ ጭማሪዎች Δh ተግባራት መካከል ክፍሎች ጋር በተያያዘ.

ሜካኒካዊ ማብራሪያ

ማንቀሳቀስ አንድ ቀጥ ያለ መስመር ውስጥ ያለውን ርቀት - s f (t) = እንመልከት ቁሳዊ ነጥብ (- የጉዞ ጊዜ t) የመጀመሪያ ቦታ. ጭማሬ Δs - የጊዜ ክፍተት Δt ወቅት መንገድ ነጥብ ነው, እና ዲፈረንሺያል DS = f - (t) '(t) Δt ይህ ፍጥነት ረ መቆየት ከሆነ በዚህ መንገድ, ነጥብ በተመሳሳይ ጊዜ ይካሄዳል ነበር; ይህም Δt' ጊዜ t ላይ ደርሷል . አንድ በጣም ኢምንት Δt ዳውን ምናባዊ መንገድ ትክክለኛ Δs infinitesimally Δt ጋር በተያያዘ ከፍተኛ ትዕዛዝ ያለው የተለየ ጊዜ. ጊዜ T ላይ ፍጥነት ወደ ዜሮ እኩል አይደለም ከሆነ, ወደ ግምታዊ ዋጋ DS አነስተኛ በመሠረተ ነጥብ ይሰጣል.

የጆሜትሪ ዝርዝር ትርጓሜ

መስመር L የ y = f (x) ወደ ግራፍ ነው እንመልከት. ከዚያም Δ x = MQ, Δu = QM '(ይመልከቱ. ከታች በስእል). ታካኪ ሚነሶታ Δu ሁለት ክፍሎች, QN እና ኤም 'ወደ ቈረጠ ይሰብራል. አንደኛ እና Δh ነው ተመጣጣኝ QN = MQ tg (ማዕዘን QMN) = Δh f '(x), የቲ. ኢ QN, dy ልዩነት ነው ∙.

Δh → 0 ኤም ርዝመት ', እንዲያውም በበለጠ ፍጥነት ወደ መከራከሪያ ያለውን ጭማሪ በላይ ይቀንሳል ጊዜ ልዩነት Δu NM'daet ─, dy, ሁለተኛ ክፍል ነው Δh በላይ ትንሽነት ቅደም ተከተል እንዳለው ማለትም. በዚህ ሁኔታ ውስጥ, f '(x) ≠ 0 (ያልሆኑ ትይዩ ታንጀንት በሬ) ክፍልፋዮች QM'i QN አቻ ከሆነ; በሌላ አነጋገር ውስጥ ኤም 'ጠቅላላ ጭማሪ Δu = QM በላይ (ከፍ በውስጡ መካከል ትንሽነት ቅደም) በፍጥነት ይቀንሳል ». ይህ ስእል (እየቀረበ ክፍል M'k መ NM'sostavlyaet ሁሉ አነስ መቶኛ QM »ክፍል) ውስጥ በግልጽ ይታያል.

ስለዚህ, በግራፊክ የዘፈቀደ ተግባር ኩርባ ጋር ያለውን ordinate ያለውን ጭማሪ ጋር እኩል ነው ዲፈረንሻል.

ተቀጽላ እና ዲፈረንሺያል

መግለጫ ጭማሪ ተግባር በመጀመሪያው ቃል ውስጥ አንድ ምክንያት የራሱ አስመስሎ f '(x) ዋጋ ጋር እኩል ነው. በመሆኑም የሚከተሉትን ግንኙነት -, dy = f (x) Δh '(x) Δh ወይም ሊታሰቡባቸው (x) ረ ='.

ይህ ገለልተኛ ክርክር ያለውን ጭማሪ ያለውን ልዩነት Δh = dx ጋር እኩል እንደሆነ የታወቀ ነው. በመሆኑም, እኛ መጻፍ እንችላለን: f '(x) dx =, dy.

(አንዳንድ ጊዜ "ውሳኔ" መሆን አለ) differentials የሚያገኙትም ተዋጽኦዎች እንደ ተመሳሳይ ደንቦች አፈጻጸም ነው. ከእነርሱ መካከል አንድ ዝርዝር ከዚህ በታች የተሰጠው ነው.

ምን የበለጠ አቀፋዊ ነው: ክርክር ወይም ልዩነት ያለውን ጭማሪ

እዚህ አንዳንድ ማብራሪያዎች ማድረግ አስፈላጊ ነው. ውክልና እሴት f '(x) ልዩነት Δh በተቻለ ክርክር እንደ x ከግምት ጊዜ. ነገር ግን ተግባሩ x መከራከሪያ T የሆነ ተግባር ሊሆን የሚችል አንድ ውስብስብ ሊሆን ይችላል. ከዚያም f '(x) Δh ያለውን ልዩነት አገላለጽ ውክልና, ደንብ ሆኖ, ይህ የማይቻል ነው; + ለ ላይ መስመራዊ ጥገኛ x = መካከል ያለውን ሁኔታ በስተቀር.

ወደ ቀመር ረ እንደ '(x) =, ከዚያም x t ያለውን parametric ጥገኛ ሁኔታ ውስጥ ነጻ ክርክር x ሁኔታ (በዚያን ጊዜ dx = Δh) ውስጥ, ይህ ልዩነት, dy dx ነው.

ለምሳሌ ያህል, አገላለጽ 2 x Δh y = x ² x ክርክር ጊዜ በውስጡ ልዩነት ነው. አሁን x = t ² እና T ክርክር ይወስዳሉ. ከዚያም የ y = x ² = t ^4.

ይህ (t + Δt) ² = T ^2; + 2tΔt + Δt ² ተከትሎ ^ነው. በመሆኑም Δh = 2tΔt + Δt ^2. በመሆኑም: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

ይህ አገላለጽ Δt ጋር ተመጣጣኝ አይደለም, ስለዚህ አሁን 2xΔh ልዩነት አይደለም ነው. ይህ ቀመር የ y = x ² = T ⁴ ከ ሊገኝ ^{ይችላል.} ይህም እኩል, dy = 4t ³ Δt ነው.

እኛ አገላለጽ 2xdx መውሰድ ከሆነ ማንኛውም ክርክር T ያለውን ልዩነት በ y = x ² ነው. በእርግጥም, x = t ² dx = 2tΔt እንዲያገኙ ጊዜ.

ስለዚህ 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, የቲ. ሁለት የተለያዩ ተለዋዋጮች ላይ ተመዝግቦ የሚገኘው መግለጫ differentials የተገጣጠመ ነው ሠ.

ጭማሪዎች differentials መተካት

f ከሆነ '(x) ≠ 0, ከዚያም Δu እና, dy ተመጣጣኝ (ጊዜ Δh → 0); የ f '(x) = 0 (ትርጉም እና, dy = 0) ከሆነ, እነሱ ተመጣጣኝ አይደሉም.

ለምሳሌ ያህል, = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² Δu ^ከዚያም = x ² y እና, dy ከሆነ = 2xΔh. x = 0 እሴት Δu = Δh ² እና, dy = 0 ተመጣጣኝ አይደሉም ጊዜ x = 3 ከሆነ, ከዚያም እኛ Δh ² → 0 ምክንያት ተመጣጣኝ የሆኑ Δu = 6Δh + Δh ² እና, dy = 6Δh አለን.

ይህ እውነታ, አብረው ልዩነት ቀላል መዋቅር ጋር (ሜ. Δh ጋር በተያያዘ ሠ Linearity), ብዙውን ጊዜ ስለሚለው ላይ, ግምታዊ ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ ትንሽ Δh ለ Δu ≈, dy ነው. ያለውን ልዩነት ተግባር ብዙውን ጊዜ ጭማሪ ያለውን ትክክለኛ ዋጋ ለማስላት በላይ ቀላል ነው አግኝ.

ለምሳሌ ያህል, እኛ ጠርዝ ጋር የብረት ኩብ አለን x = 10.00 ሴሜ. Δh = 0,001 ሴሜ. ጨምሯል እንዴት ድምጽ ኩብ V ላይ ረዘም ጠርዝ ስለሄደ ላይ? ^እኛ = x ² V አለን DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ የካቲት ¹⁰ 0/01 = 3 (ሴሜ ³⁾ መሆኑን ^ነው. እየደመቀ ΔV አቻ ልዩነት DV, ስለዚህም ΔV = 3 ሴሜ ^3. ሙሉ ስሌት ³ ΔV = 10,01 ─ መጋቢት ¹⁰ = 3.003001 መስጠት ነበር. ነገር ግን የመጀመሪያው የማያስተማምን በስተቀር ሁሉም አሃዞች ውጤት; ስለዚህ, ይህ 3 ሴንቲ ሜትር እስከ ³ ዙር አሁንም አስፈላጊ ^ነው.

እርግጥ ነው, ይህ አቀራረብ ስህተት ጋር እናካፍላችሁ እሴት ለመገመት ይቻላል ብቻ ከሆነ ጠቃሚ ነው.

ዲፈረንሻል ተግባር: ምሳሌዎች

እስቲ የሚመነጩ ^{በማግኘት,} ተግባር y = x ³ ያለውን ልዩነት ለማወቅ እንሞክር. እስቲ እሴት ጭማሪ Δu ለመስጠት እና ለመበየን እንመልከት.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ^2; + Δh (Δh 3xΔh ^2; + ^3).

የመጀመሪያው ቃል ተመጣጣኝ Δh, ሌላኛው አባል 3xΔh Δh ^2; + ³ ነው; ስለዚህ እነሆ: ወደ Coefficient A = 3x ^2, Δh ላይ የተመካ አይደለም Δh → 0 መከራከሪያ ያለውን ጭማሪ ይልቅ ፍጥነት ይቀንሳል ጊዜ. በመሆኑም 3x ² Δh አባል የ y = x ³ ያለውን ልዩነት ^ነው:

ዱዌይ = 3x ² Δh = 3x ² dx ወይም d (x ³⁾ = 3x ² dx.

በውስጧ d (x ³⁾ / dx, = 3x ^2.

ዱዌይ እኛ አሁን ማግኘት ተግባር y = 1 / x የሚለው የሚመነጩ አጠገብ. ከዚያም መ (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. ስለዚህ, dy = ─ Δh / x ^2.

መሠረታዊ በአልጀብራዊ ተግባራት ከዚህ በታች ይሰጣቸዋል Differentials.

ልዩነት በመጠቀም የግምት ስሌት

የ አስረካቢ f (x) መገምገም, እና በውስጡ የመነጩ f '(x) x = አንድ ብዙውን ጊዜ አስቸጋሪ ነው, ነገር ግን x = አንድ አካባቢ ላይ ተመሳሳይ ማድረግ ቀላል አይደለም ላይ. ከዚያም ግምታዊ መግለጫ እርዳታ ይመጣሉ

f (ሀ + Δh) ≈ f '(ሀ) Δh + f (ሀ).

ይህም በውስጡ ልዩነት Δh f '(ሀ) Δh በኩል ትንሽ ጭማሪዎች ላይ ያለውን ተግባር አንድ ግምታዊ ዋጋ ይሰጣል.

ስለዚህ, ይህ ቀመር ክፍል (x = ሀ) እና ተመሳሳይ መነሻ ነጥብ ውስጥ ያለውን ልዩነት ያለውን መነሻ ነጥብ ላይ የዋጋውንም አንድ ድምር እንደ ርዝመት Δh የተወሰነ ክፍል መጨረሻ ነጥብ ላይ ያለው ተግባር አንድ ተቀራራቢ መግለጫ ይሰጣል. ወደ ተግባር እሴቶች ለመወሰን ዘዴ ትክክለኛነት ከዚህ በታች ያለውን ስዕል ያሳያል.

ሆኖም ግን የሚታወቅ እና ቀመር የብዛታቸው በ DEGREE የተሰጠውን ተግባር x = የ + Δh ያለውን እሴት ትክክለኛ መግለጫ (አማራጭ ወይም,, ላግራንግ ያለው ቀመር)

f (ሀ + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (ሀ),

ነጥብ x = a + ξ, x = a ከ x = a + Δh ወደ ክፍተት ውስጥ ቦታ ያለው ትክክለኛ አቋም አይታወቅም ቢሆንም. ትክክለኛ ቀመር ግምታዊ ቀመር ስህተት ለመገምገም ያስችላቸዋል. ትክክለኛ መሆን ካቆመ, ነገር ግን, ደንብ እንደ ልዩነት አንፃር የመጀመሪያው አገላለጽ ይልቅ በጣም የተሻለ ዘዴ ይሰጣል ቢሆንም እኛ ግን ላግራንግ ቀመር ξ = Δh / 2 ጣለች ከሆነ.

ልዩነት ተግባራዊ በማድረግ ግምገማ ቀመሮች ስህተት

መሣሪያዎችን መለካት መርህ ውስጥ, ትክክል እና ስህተት ጋር የሚጎዳኝ የመለኪያ ውሂብ ወደ ያመጣል. እነዚህ በመገደብ ባሕርይ ናቸው ፍጹም ስህተት, በግልጽ (ቢበዛ እኩል ነው ወይም) ፍጹም እሴት ላይ ስህተት እጅግ አዎንታዊ -, ገደቡ ላይ ስህተት አጭር ውስጥ, ወይም. መገደብ አንጻራዊ ስህተት ወደ የሚለካው እሴት ፍጹም እሴት በማድረግ ተአምርም አገኘ ኢምንታዊ ይባላል.

ይሁን ትክክለኛ ቀመር የ y = f (x) ተግባር vychislyaeniya y ነበር, ነገር ግን x ዋጋ የመለኪያ ውጤት ነው, እና ስለዚህ y ስህተት ያመጣል. ከዚያም ቀመር በመጠቀም በመገደብ ፍጹም ስህተት │Δu│funktsii y ማግኘት

│Δu│≈│dy│ = │ '(x) ││Δh│ ረ,

የት │Δh│yavlyaetsya የኅዳግ ስህተት እሴት. │Δu│ ብዛት እንደ ከተገደለና የተጠጋጋ መሆን አለበት ትክክለኛ ያልሆነ ስሌት ራሱ ልዩነት ስሌት ላይ ጭማሪ ያለውን ምትክ ነው.