Maclaurin እና አንዳንድ ተግባራት መካከል ውህድ

የላቁ የሒሳብ በማጥናት ሁላችንም አንድ ቁጥር convergence ያለውን ክፍተት ውስጥ ያለ ኃይል ተከታታይ ድምር, ጊዜ አንድ ቀጣይነት እና ያልተወሰነ ቁጥር የተለያየ ተግባር መሆኑን መገንዘብ ይኖርባቸዋል. የሚለው ጥያቄ ይነሳል; ይህ የተሰጠ አንድ የዘፈቀደ የሆነ አስረካቢ f ለመከራከር የሚቻል ነው (x) - አንድ ኃይል ተከታታይ ድምር ነው? ይህ ረ-ንዲመራና f (x) አንድ ኃይል ተከታታይ የተወከለው ይቻላል በምን ሁኔታ ሥር ነው? ይህን ጉዳይ አስፈላጊነት ይህም በግምት £ ቲኦሎጂካል f (x) አንድ ኃይል ተከታታይ የመጀመሪያዎቹ ጥቂት ቃላት ድምር ነው ለመተካት የሚቻል መሆኑን ነው, አንድ የጥረዛ ነው. የጥረዛ - - እንዲህ ምትክ ተግባር በጣም ቀላል መግለጫ ነው ምቹና አንዳንድ ችግሮችን መፍታት ነው , ሒሳባዊ ትንታኔ ውስጥ ማለትም በማስላት ጊዜ integrals በመፍታት ረገድ እኩልዮሾችን , ወዘተ ...

ይህ መሆኑ ነው አካባቢ ውስጥ የቅርብ ጨምሮ (n + 1) -th ሥርዓት ተዋጽኦዎች ሊሰላ ይችላል በውስጧ አንዳንድ ረ-ii f (x), (α ለ - R; x ₀ + R) አንድ ነጥብ x = α መካከል ፍትሃዊ ቀመር ነው:

ይህ ቀመር የ ታዋቂ ሳይንቲስት Brooke ቴይለር በኋላ የሚባል ነው. ካለፈው አንድ የተወሰደ ነው አንድ ቁጥር አንድ Maclaurin ተከታታይ ይባላል:

የሚቻል በሚያደርግ አንድ አገዛዝ Maclaurin ተከታታይ የማስፋፊያ ለማምረት:

1. መጀመሪያ, ሁለተኛ, ሦስተኛ, ... ትዕዛዝ ተዋጽኦዎች ይወስናሉ.
2. x = 0 ላይ ተዋጽኦዎች ምን አስላ.
3. መዝገብ Maclaurin ተከታታይ ለዚህ ተግባር, እና ከዚያም convergence ያለውን ክፍተት ለመወሰን.
4. (; R -R), ቀመር Maclaurin ውስጥ የት ቀሪ ክፍል ክፍተት ለመወሰን

R _n (x) -> 0 n ለ -> ስፍር. አንድ ሰው ካለ, አስረካቢ f (x) ወደ Maclaurin ተከታታይ ድምር ጋር እኩል መሆን አለባቸው.

አሁን ግለሰብ ተግባራትን ለማግኘት Maclaurin ተከታታይ እንመልከት.

1. በመሆኑም የመጀመሪያው f ዘንድ (x) = e ^x. እርግጥ ነው, በዚያ ያላቸውን ባህርያት-IA ረ K ሁሉ እኩል በሆነበት ትዕዛዞች በተለያዩ, እና f ^{(ተ) (x)} = e ^x, የሚመነጩ, ስለዚህ ያለውን የተፈጥሮ ቁጥሮች. ምትክ x = 0. እኛ ከላይ ከተገለጸው, ኢ ^x በርካታ ላይ የተመሠረተ ... f ^{(ተ) (0)} = e ⁰ = 1, K = 1,2 እንዲያገኙ እንደሚከተለው ይሆናል:

የ አስረካቢ f (x) = ኃጢአት x ለ 2. Maclaurin ተከታታይ. ወዲያውኑ, f ሌላ ^'(x) = cos x = ኃጢአት (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = ኃጢአት (x ይኖረዋል ሁሉ ያልታወቀ ተዋጽኦዎች ያንን ረ-ንዲመራና መጥቀስ + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(ተ) (x)} = ኃጢአት (x + n * K ማንኛውም አዎንታዊ ኢንቲጀር ጋር እኩል ነው የት k / 2). ይህ ቀላል ስሌቶችን በማድረግ ነው, እኛ F ለ ተከታታይ (x) = ኃጢአት x እንደዚህ ይሆናል ብለን መደምደም እንችላለን:

3. አሁን ያለው iju ረ-f (x) = cos x እንመልከት. ይህ የዘፈቀደ ትዕዛዝ ሁሉ ተዋጽኦዎች የሚሆን የማይታወቅ ነው, እና ^{| F (ተ) (x)} | = | ቆስ (x + k * n / 2) | <= 1, K = 1,2 ... እንደገና, ይህም, እኛም F ለ ተከታታይ (x) ይህን ይመስላሉ ያደርጋል cos x = መሆኑን ለማወቅ አንዳንድ ስሌቶች አድርጎ:

ስለዚህ, አንድ Maclaurin ተከታታይ ይሰፋል የሚችሉ በጣም ጠቃሚ ባህሪያት የተዘረዘሩት ናቸው, እነርሱ ግን አንዳንድ ተግባራትን ለማግኘት ቴይለር ተከታታይ የተሟላ. አሁን እንዲሁም እነሱን መዘርዘር ይሆናል. በተጨማሪም ቴይለር ተከታታይ እና Maclaurin ተከታታይ ከፍተኛ የሂሳብ ውስጥ ውሳኔዎች መካከል ዓውደ ተከታታይ አስፈላጊ አካል ናቸው መሆኑ መታወቅ አለበት. ስለዚህ, ቴይለር ተከታታይ.

1. የመጀመሪያው ረ-II የ f (x) = ln (1 + x) ተከታታይ ነው. Maclaurin ተከታታይ አጠቃላይ ቅጽ በመጠቀም አንድ ቁጥር አጣጥፎ ይችላል ይህ እኛ f (x) = ln (+ x 1) ለ ቀደም ምሳሌዎች ውስጥ ነው. ነገር ግን ለዚህ ባህሪ Maclaurin በጣም ቀላል ማግኘት ይቻላል. የጆሜትሪ ማቀናጀት, እኛ f (x) አንድ ቁጥር እንዲያገኙ = ln (1 + x) ወደ ናሙና:

2. በዚህ ርዕስ ውስጥ የመጨረሻ ይሆናል, ይህም ሁለተኛው, f (x) = arctg x ለ በተከታታይ ይሆናል. ወደ ክፍተት አባል x ለ [-1; 1] ትክክለኛ ውህድ ነው;

ያ ነው ሁሉም ነገር. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እኔ በተለይ የኢኮኖሚ እና የቴክኒክ ኮሌጆች ውስጥ, ከፍተኛ በሂሳብ ውስጥ በጣም ጥቅም ላይ የዋሉ ቴይለር ተከታታይ እና Maclaurin ተከታታይ ላይ ጥናት አድርገዋል.