መስመራዊ በአልጀብራዊ እኩልዮሾችን የስርዓት. መስመራዊ በአልጀብራዊ እኩልዮሾችን አወቃቀር አንድ ሥርዓት

በትምህርት ቤት, እያንዳንዳችን, በእርግጥ, እኩልዮሾችን ሥርዓት ወደ ቀመር ያጠና ሲሆን. ነገር ግን ብዙ ሰዎች እነሱን ለመፍታት ብዙ መንገዶች እንዳሉ እናውቃለን. ዛሬ እኛ ከሁለት በላይ እኩልታዎች ያቀፈ ናቸው መስመራዊ ልጀብራ equations, አንድ ሥርዓት መፍታት ያህል በትክክል ሁሉ ዘዴዎች ያያሉ.

ታሪክ

ዛሬ እኛም እኩልታዎች እና ስርዓቶች ለመፍታት ጥበብ በጥንት ዘመን በባቢሎን እና በግብፅ ውስጥ የመነጨው እናውቃለን. ይሁን ያላቸውን በደንብ መልክ እኩልነት የእንግሊዝኛ የሒሳብ መዝገብ በ 1556 ተሰብኮ ነበር ይህም እኩል ምልክት "=", እንዳይከሰት በኋላ ለእኛ ታየ. መንገድ በማድረግ, ይህ ምልክት ምክንያት የተመረጠ ነበር: ሁለት ትይዩ እኩል ክፍሎች ማለት ነው. በእርግጥም, እኩልነት ምርጥ ምሳሌ ከፍ አይመጣም.

ዘመናዊው የሚጻፉት መስራች እና ያልታወቀ በተወሰነ መካከል ምልክቶች, የፈረንሳይ የሒሳብ Fransua ቬት. ይሁን እንጂ, በውስጡ ስያሜ ዛሬ በእጅጉ የተለየ ነው. ለምሳሌ ያህል, አንድ ያልታወቀ ቁጥር አንድ ካሬ ብሎ ደብዳቤውን ጥ (. ኬክሮስ "quadratus"), እንዲሁም ኩብ የሚሰየም - (. ኬክሮስ «cubus") ፊደል ሐ. እነዚህ ምልክቶች አሁን ምቾት ይመስላሉ, ነገር ግን ከዚያ መስመራዊ ልጀብራ እኩልዮሾችን አንድ ሥርዓት ለመጻፍ በጣም ሊታወቅ የሚችል መንገድ ነበር.

ይሁን እንጂ መፍትሔ የወቅቱን ዘዴዎች ውስጥ ለኪሳራ የሒሳብ አወንታዊ ሥሮቹ ብቻ ግምት ውስጥ መሆኑን ነው. ምናልባት ይህ አሉታዊ እሴቶች ማንኛውም ተግባራዊ የለውም እውነታ ምክንያት ነው. አንዱ መንገድ ወይም ሌላ, ነገር ግን የመጀመሪያው አሉታዊ ሥሮቹ በ 16 ኛው መቶ ዘመን ውስጥ የጣሊያን የሒሳብ ኒኮሎ Tartaglia, Gerolamo ካርዳኖ እና ሩፋኤል Bombelli በኋላ የጀመረው ግምት ነው. አንድ ዘመናዊ መልክ, ለችግሮቻችን ዋና ዘዴ quadratic equations (discriminant በኩል) Descartes እና ኒውተን ሥራ በኩል ብቻ ነው በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ውስጥ ተቋቋመ.

በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን የስዊስ የሒሳብ አጋማሽ ውስጥ ገብርኤል Cramer ቀላል መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ ለማድረግ አዲስ መንገድ አገኘ. ይህ ዘዴ በኋላ ከእርሱ በኋላ የሚባል ሲሆን እስከ ዛሬ ድረስ እኛ ይጠቀማሉ. ነገር ግን ትንሽ ቆይተው ክሬመር ያለው ንግግር ዘዴ ላይ, ነገር ግን አሁን ስለ እኛ ስርዓት ተለይተው አንዳዊ እኩልታዎችን እና መፍትሄ ያብራራል.

አንዳዊ እኩልታዎችን

መስመራዊ እኩልታዎች - ተለዋዋጭ (ዎች) ጋር ቀላሉ ቀመር. እነርሱ በአልጀብራዊ ናቸው. መስመራዊ እኩልታዎች የ ₁ * x ₁ + _{2 *} x _2; + ... እንዲሁም _n * x _n = ለ: በስእሉ እንደሚታየው አጠቃላይ መልክ የተጻፉ. የዚህ ቅጽ ግቤት እኛ ሥርዓቶች መካከል ዝግጅት ውስጥ ይኖርብናል እና ላይ ማውጫዎችን ይሆናል.

መስመራዊ በአልጀብራዊ እኩልዮሾችን አንድ ሥርዓት

የዚህ ቃል ትርጉም ነው: የጋራ የማይታወቁ እና አጠቃላይ መፍትሔ ያላቸው እኩልታዎች ስብስብ. በተለምዶ, በትምህርት ቤት ሁሉ ሁለት ወይም ሦስት ስሌቶች ጋር አንድ ሥርዓት መፍትሔ. ነገር ግን አራት ወይም ከዚያ በላይ ክፍሎችን ጋር ሥርዓቶች አሉ. የአምላክ ስለዚህ በኋላ መፍታት አመቺ አልነበረም ከእነርሱም እንዲጽፉ እንዴት በመጀመሪያ እስቲ እንመልከት. በጣም ላይ 1,2,3 እና: ሁሉ ተለዋዋጮች ተጓዳኝ ኢንዴክስ ጋር x እንደ ተጻፈ ከሆነ በመጀመሪያ, መስመራዊ ልጀብራ እኩልዮሾችን ሥርዓት የተሻለ እንመለከታለን. በሁለተኛ ደረጃ: ወደ ቀኖናዊ ቅጽ ሁሉ equations መምራት አለባቸው: ₁ * x ₁ + _{2 *} x _2; + ... እንዲሁም _n * x _n = ለ.

እነዚህን ሁሉ ደረጃዎች በኋላ, እኛ እንዴት መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ ለማግኘት ለእናንተ ለመንገር መጀመር ይችላሉ. ይህ በጣም ብዙ ምቹ ማትሪክስ ውስጥ ይመጣል.

ማትሪክስ

ማትሪክስ - ረድፎች እና አምዶች ያካተተ አንድ ጠረጴዛ, እና ንጥረ ነገሮች ያላቸውን መስቀለኛ መንገድ ላይ ናቸው. ይህም አንድ የተወሰነ እሴት ወይም ተለዋዋጭ ሊሆን ይችላል. አብዛኛውን ጊዜ, የ subscripts (ለምሳሌ, የ ₁₁ ወይም ₂₃ በሚገባ) ስር ዝግጅት ናቸው ክፍሎች ለመሰየም. አምድ - የመጀመሪያው ኢንዴክስ የረድፍ ቁጥር, እና ሁለተኛው ያመለክታል. ከላይ እና ሌላ ማንኛውም ሒሳባዊ አባል ሆኖ ከላይ ማውጫዎችን በተለያዩ ክወናዎችን እንዲያከናውን ይችላሉ. በመሆኑም ማድረግ ይችላሉ:

1), ይቀንሱ እና ጠረጴዛ ተመሳሳይ መጠን መጨመር.

2) ማንኛውም ቁጥር ወይም ቬክተር ወደ የማትሪክስ ያባዙ.

3) Transpose: ዓምዶች ውስጥ ማትሪክስ መስመሮችን ሽግግር, እና አምዶች - መስመር ላይ.

ረድፎች ብዛት ከእነርሱ አንዱ አምዶች የተለየ ቁጥር ጋር እኩል ነው ከሆነ 4), በማትሪክስ ማባዛት.

እነሱ ወደፊት ለእኛ ጠቃሚ ናቸው እንደ በዝርዝር እነዚህ ዘዴዎች ሁሉ ለመወያየት. መቀነስ እና ማውጫዎችን መካከል በተጨማሪም በጣም ቀላል ነው. እኛም ተመሳሳይ መጠን ማትሪክስ መውሰድ በመሆኑ, በአንድ ጠረጴዛ እያንዳንዱ አባል ሁሉ ሌሎች ኤለመንት ጋር ተዛማጅ ነው. ስለዚህ እኛ (መቀነስ) ከእነዚህ ክፍሎች መካከል ሁለት (ይህም እነርሱ ማውጫዎችን ውስጥ በተመሳሳይ መሬት ላይ ቆመው ነበር አስፈላጊ ነው) ያክሉ. ማትሪክስ ወይም ቬክተር ቁጥር ተባዝቶ ጊዜ በቀላሉ በዚያ ቁጥር (ወይም ቬክተር) በ ማትሪክስ እያንዳንዱ አባል ማባዛት. Transposition - በጣም የሚስብ ሂደት. አንድ ጡባዊ ወይም ስልክ አቀማመጥ መለወጥ ጊዜ, ለምሳሌ, እውነተኛ ህይወት ውስጥ እሱን ለማየት አንዳንድ ጊዜ በጣም አስገራሚ. ዴስክቶፕ ላይ ምስሎች አንድ ማትሪክስ ነው, እና አቋም ለውጥ ጋር, ይህም transposed ነው እና ሰፊ ይሆናል, ነገር ግን ቁመቱ ውስጥ ይቀንሳል.

ከእኛ እንደ ተጨማሪ ሂደት እንመርምር ማትሪክስ ማባዛት. ቢሆንም እሱ ነገረን, እና ጠቃሚ አይደለም, ነገር ግን አሁንም ጠቃሚ ነው ይገንዘቡ. ማባዛት ሁለት ማውጫዎችን በአንድ ጠረጴዛ ላይ አምዶች ብዛት ከሌሎች ረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው ብቻ ሁኔታ ሥር ሊሆን ይችላል. አሁን አንድ ማትሪክስ መስመር ንጥረ እና ተጓዳኝ አምድ ሌሎች ንጥረ ይወስዳሉ. እያንዳንዱ ከዚያም ሌላ እና ድምር እነሱን አበዛዋለሁ (ሀ * ለ _{11 12} + * ₁₂ ለ እና ₂₂ ማለትም, ለምሳሌ, ንጥረ ₁₁ እና ₁₂ እና ₁₂ ለ እና ₂₂ ለ ላይ አንድ ምርት ጋር እኩል _{ይሆናል).} በመሆኑም በአንድ ጠረጴዛ ንጥል, እና ተመሳሳይ ዘዴ ተጨማሪ የተሞላ ነው.

አሁን መስመራዊ እኩልታዎችን ሥርዓቶችን ለመፍታት እንዴት እንደሆነ ሊጀምሩ ይችላሉ.

ጋውስ

ይህ ገጽታ በትምህርት ቦታ መውሰድ ጀመረ. እኛ በጣም ጥሩ "ሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ሥርዓት" ጽንሰ-ሐሳብ ማወቅ እና እነሱን መፍታት እንደሚቻል ያውቃሉ. ነገር ግን እኩልታዎች ቁጥር ሁለት የበለጠ ነገር ቢሆንስ? ይህ ይረዳናል ጋውስ ዘዴ.

እርግጥ ነው, ይህ ዘዴ እርስዎ ሥርዓት ማትሪክስ እንዲሆን ከሆነ, ለመጠቀም አመቺ ነው. እናንተ ግን መለወጥ እና በራሱ ላይ መወሰን አይችልም.

ስለዚህ እንዴት አንዳዊ እኩልታዎችን ጋውስ የሆነ ሥርዓት ነው ለመፍታት? በነገራችን እንኳ በዚህ ዘዴ ቢሆንም ከእርሱ በኋላ የሚባል ነገር ግን በጥንት ዘመን ውስጥ አግኝተዋል. ጋውስ በመጨረሻም echelon ቅጽ አጠቃላዩን ውጤት, የ ስሌቶች ተሸክመው አሠራር አለው. ይህ እርስዎ ያልታወቀ አንድ እየከሰመ የመጨረሻው እኩልዮሽ መጀመሪያ ጀምሮ ከላይ-ወደታች (በትክክል ቦታ ከሆነ) ያስፈልገናል, ነው. በሁለተኛው ውስጥ ሦስት የማይታወቁ, - - በሦስተኛው ውስጥ ሁለት - አንድ የመጀመሪያው: በሌላ አነጋገር, እኛ, ሦስት እኩልታዎች, እኛ ያለዎ መሆኑን ማረጋገጥ አለብን ይላሉ. ከዚያም የመጨረሻው እኩልዮሽ ጀምሮ, እኛ የመጀመሪያው የማይታወቅ ማግኘት, ሁለተኛው ወይም የመጀመሪያው ቀመር ውስጥ ያለውን ዋጋ ሊያከናውኑት, እና ተጨማሪ ቀሪዎቹ ሁለት ተለዋዋጮች እናገኛለን.

Cramer አገዛዝ

በዚህ ዘዴ እድገት ለማግኘት ማውጫዎችን መካከል መቀነስ, እንዲሁም የሚወስኑ ማግኘት መቻል አስፈላጊነት በተጨማሪ ያለውን ሙያዎች ጠንቅቀው ማወቅ አስፈላጊ ነው. ይህን ሁሉ እያደረገ የማይመች ወይም እንዴት አያውቁም ከሆነ ስለዚህ ይህ ለመማር እና ማሰልጠን አስፈላጊ ነው.

በዚህ ዘዴ ፍሬ ነገር ምንድን ነው, እና ይህን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል, አንዳዊ እኩልታዎችን Cramer የሆነ ሥርዓት ለማግኘት? በጣም ቀላል ነው. እኛ (ሁልጊዜ ማለት ይቻላል) መስመራዊ ልጀብራ equations አንድ ሥርዓት ጠቋሚ ቁጥሮች ማትሪክስ መገንባት ያስፈልገናል. ይህንን ለማድረግ, በቀላሉ የማይታወቅ ቁጥር መውሰድ, እና እነሱ ሥርዓት ውስጥ ተመዝግቦ ይገኛል ቅደም ተከተል አንድ ጠረጴዛ ዝግጅት. ቁጥር ምልክት ነው በፊት ከሆነ "-", ከዚያም እኛ አሉታዊ Coefficient ጻፍ. ስለዚህ, (- ጠቋሚ ጋር ሁሉ የማይታወቁ መብት ብቻ አንድ ቁጥር, እና ግራ ነው ጊዜ ቀመር ወደ ቀኖናዊ ቅጽ ሊቀነስ ዘንድ እንዳለው, እርግጥ) እኩል ምልክት በኋላ ቁጥር ጨምሮ አይደለም, ስለ የማይታወቁ መካከል ጠቋሚ የመጀመሪያ ማትሪክስ አደረገ. ከዚያም ጥቂት ማውጫዎችን ማድረግ አለብን - እያንዳንዱ ተለዋዋጭ አንድ. ይህ ዓላማ ለማግኘት በመጀመሪያው ድርድር ውስጥ እኩል ምልክት በኋላ አንድ አምድ በ ጠቋሚ ጋር እያንዳንዱ አምድ ቁጥሮች ተተክቷል. ስለዚህ እኛ ጥቂት ማውጫዎችን ለማግኘት እና ከዚያ ያላቸውን የሚወስኑ እናገኛለን.

እኛ ስላልተጠቀመ አገኘ በኋላ ትንሽ ነው. እኛ የመጀመሪያ ማትሪክስ አለን, እና የተለያዩ ተለዋዋጮች ጋር ተመሳሳይ የሆነውን በርካታ የመጣ ማውጫዎችን, አሉ. የስርዓት መፍትሄ ለማግኘት, እኛ ጠረጴዛ ተቀዳሚ መወሰኛ ላይ የሚያስከትለውን ሰንጠረዥ መወሰኛ መከፋፈል. በ ምክንያት ቁጥር አንድ ተለዋዋጭ ዋጋ ነው. በተመሳሳይ ሁላችንም የማይታወቁ እናገኛለን.

ሌሎች ዘዴዎች

መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ ለማግኘት ሲሉ በርካታ ዘዴዎች አሉ. ለምሳሌ ያህል, ደግሞ quadratic equations ሥርዓት መፍትሄ የማግኘት ይውላል, እና ነው ይህም እንዲሁ-ተብሎ ጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ, ማውጫዎችን አጠቃቀም ጋር ይዛመዳል. መስመራዊ በአልጀብራዊ እኩልታዎች አንድ ሥርዓት ለመፍታት የሚያስችል Jacobi ዘዴ ደግሞ አለ. እሱም በቀላሉ ሁሉም ኮምፒውተሮች ላይ የሚያስማማ እና ማስላት ጥቅም ላይ የዋለው ነው.

ውስብስብ ጉዳዮች

እኩልታዎች ቁጥር ተለዋዋጮች ቁጥር ያነሰ ከሆነ ውስብስብነት በአብዛኛው የሚከሰተው. ከዚያም እኛ በእርግጥ ማለት ይቻላል, ወይም ስርዓት (ማለትም, ምንም ሥሮች የለውም) የማይጣጣም ነው, ወይም ውሳኔ ቁጥር ስፍር የመምሰል. እኛ ሁለተኛው ጉዳይ ካለዎት - መስመራዊ እኩልታዎችን ሥርዓት አጠቃላይ መፍትሄ መጻፍ አስፈላጊ ነው. ይህም ቢያንስ አንድ ተለዋዋጭ ያካትታል.

መደምደሚያ

እዚህ ጋር እኛ መጨረሻው ይመጣል. ለማጠቃለል: እኛ ሥርዓት ማትሪክስ መስመራዊ እኩልታዎችን ሥርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ለማግኘት ተምረዋል ምን መረዳት አላቸው. በተጨማሪ ሌሎች አማራጮችን ይቆጠራል. Gaussian ለማስወገድ እና: እኛ መስመራዊ እኩልታዎችን ሥርዓቶችን ለመፍታት እንዴት አስበን Cramer አገዛዝ. እኛም አስቸጋሪ ሁኔታዎች እና መፍትሄ የማግኘት ሌሎች መንገዶች ስለ ተነጋገረ.

እንዲያውም, ይህ ጉዳይ በጣም ሰፊ ነው, እና የተሻለ ለመረዳት የሚፈልጉ ከሆነ, እርስዎ ልዩ የሥነ ጽሑፍ ተጨማሪ ለማንበብ አበክረን.